期权凸性套利的基本概念 - 期权市场交易价格与理论价格的差异为无风险套利提供了机会 凸性套利是其中一种常见策略 [2] 凸函数的数学定义 - 凸函数的图形中 连接点(K1, C1)和(K2, C2)的直线L1的斜率绝对值大于连接点(K2, C2)和(K3, C3)的直线L2的斜率绝对值 [3] - 斜率计算公式为 |L1的斜率| = (C1 - C2) / (K2 - K1) |L2的斜率| = (C2 - C3) / (K3 - K2) [3] - 凸函数需满足不等式 (C1 - C2) / (K2 - K1) > (C2 - C3) / (K3 - K2) [4] - 定义参数 λ = (K2 - K1) / (K3 - K1) 其中K1 < K2 < K3 上述不等式可简化为 C2 < (1 - λ)C1 + λC3 [4] 欧式期权的凸函数特性与套利条件 - 欧式认购期权和认沽期权的价格C是关于行权价K的凸函数 需满足 (1 - λ)C1 + λC3 > C2 [4] - 其中C1 C2 C3分别是行权价为K1 K2 K3的相同类型 相同到期日的期权价格 [4] - 当上述凸函数特性不成立 即 (1 - λ)C1 + λC3 ≤ C2 时 存在凸性套利机会 [4] - 考虑到实际交易成本 通常需要 (1 - λ)C1 + λC3 + 交易成本 ≤ C2 时 凸性套利才具有可行性 [4] 凸性套利机会的计算实例 - 举例 同一标的 同一到期日的欧式期权 行权价4.6元的认购期权权利金为0.22元 行权价5.0元的为0.03元 [6] - 计算参数 λ = (4.8 - 4.6) / (5.0 - 4.6) = 0.2 / 0.4 = 0.5 [6] - 根据凸性条件 C2 ≥ (1 - λ)C1 + λC3 = 0.5 × 0.22 + 0.5 × 0.03 = 0.125元 [6] - 因此 在不考虑交易费用的情况下 当行权价为4.8元的认购期权权利金大于等于0.125元时 存在凸性套利机会 [6]

模型背景与演进 - 早期期权交易依赖交易者经验与直觉，缺乏有效定价工具 [1] - 20世纪70年代布莱克-斯科尔斯模型提出，为期权定价带来革命性突破，凭借精妙数学推导与市场合理假设获得广泛认可 [1] - 布莱克-斯科尔斯模型存在严格假设局限，如标的资产价格遵循几何布朗运动、无风险利率恒定、市场无摩擦等，现实中难以完全成立 [2] - 1979年考克斯、罗斯和鲁宾斯坦提出二叉树期权定价模型，采用离散方式刻画标的资产价格变动，将时间划分为多个微小区间，每个区间价格只有上升或下降两种可能 [2] 模型核心假设 - 采用离散时间框架，将期权有效期划分为n个等长时间区间，每个区间长度为△t=T/n，T为期权的有效期 [2] - 标的资产价格在每个时间区间内以一定概率上升或下降，上升因子u>1，下降因子0<d<1 [2] - 市场有效且不存在无风险套利机会 [2] - 无风险利率r在期权有效期内保持不变，投资者可按此利率无风险借贷资金 [2] 单期模型定价机制 - 当前标的资产价格为S0，执行价格K，有效期△t，期末资产价格有两种可能：S0u（上升）和S0d（下降） [3] - 看涨期权价值对应为：Cu=max(S0u-K,0)（价格上升），Cd=max(S0d-K,0)（价格下降） [3] - 通过构造标的资产和无风险债券复制组合，使组合期末价值与期权价值完全相同 [3] - 对冲比率△=S0(u-d)/(Cu-Cd)，即Delta值 [3] - 期权当前价值C0=△S0-B，其中B为借入无风险资金金额 [3] - 引入风险中性概率p，非实际概率，而是无套利假设下为方便计算引入的虚拟概率，使所有资产预期收益率等于无风险利率 [4] - 期权定价公式简化为C0=1/(1+r△t)[pCu+(1-p)Cd] [4] 多期模型与递归计算 - 多期模型以单期模型为基础，采用从后向前递归方法计算期权价值 [5] - 先确定第n期（到期时）所有可能标的资产价格及对应期权价值，看涨期权为max(ST-K,0)，看跌期权为max(K-ST,0) [5] - 从第n-1期开始，利用单期模型公式，根据下一期两个子节点期权价值、风险中性概率p和无风险利率，折算出当前节点期权价值 [5] - 递归计算至第0期（当前时刻），得到期权当前价值 [5] - 标的资产价格可能取值数量随期数增加呈指数增长，第i期共有i+1种可能价格，对应i次上升和n-i次下降组合 [5] 关键参数确定 - 上升因子u和下降因子d通常基于标的资产价格波动率σ确定 [6] - 在风险中性假设下，标的资产价格对数收益率方差需与实际相符，时间△t内上升对数收益率为lnu，下降为lnd [6] - 建立方程组：plnu+(1-p)lnd=r△t 且 p(lnu)²+(1-p)(lnd)²-[plnu+(1-p)lnd]²=σ²△t [6] - 考克斯-罗斯-鲁宾斯坦（CRR）模型中取u=e^(σ√△t)，d=1/u=e^(-σ√△t)，此时p=(e^(r△t)-d)/(u-d) [6] - 该参数选择使二叉树模型在期数n趋近无穷大时收敛至布莱克-斯科尔斯模型，保证一致性 [6] 期权类型应用 - 看跌期权定价原理与看涨期权类似，各节点期权价值计算公式变为P=max(K-S,0)，S为标的资产价格 [7] - 根据期权平价公式C-P=S-Ke^(-rT)，可验证二叉树模型计算结果准确性，或在已知一种期权价值时计算另一种价值 [7] - 美式期权可在有效期内任何时间行使权利，欧式期权只能在到期时行使，美式定价更复杂需考虑提前行权可能性 [8] - 二叉树模型非常适合美式期权定价，可在每个节点判断提前行权是否有利 [8] - 计算节点期权价值时需比较欧式方式持有到期价值与提前行权价值（看涨期权为S-K，看跌期权为K-S），取较大值作为该节点期权价值 [8] 模型优势与局限 - 模型具有直观、灵活优势，离散化框架更好贴合实际市场价格非连续变动特征 [2][10] - 弥补布莱克-斯科尔斯模型假设局限，为复杂衍生品定价提供可扩展基础框架 [10] - 随期数n增加，节点数量呈指数级增长，n期模型有n+1个终端节点，高精度定价或多因子模型时计算量急剧上升，可能难以满足高频交易实时定价需求 [9] - 模型结果对波动率σ依赖性极强，输入波动率与实际市场偏差会导致定价显著误差，产生"波动率风险" [9] - 通过算法优化、技术融合，模型应用边界不断拓展，支持全风险、多场景下金融产品估值与风险管理 [10]